Criterios de congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.

 La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
• Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
• Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
• Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
• Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

TEOREMA DE PITAGORAS

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

TEOREMA DE PITÁGORAS

	En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Angulos adyacentes y congruencia de triangulos

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.

angulos adyacentes

ASER DOS TRIANGULOS Y PONER SUS CARACTERISTICAS

 TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1.       Triángulo rectángulo, con un ángulo interior recto de 90º, los lados que lo conforman se llaman catetos, y el lado contrario a estos se le llama hipotenusa.

2.       Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo.

3.       Catetos: son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo. Una característica que lo identifica como un triangulo rectángulo es que tiene un Angulo recto (es decir, exentamente 90º)

 TRIÁNGULO OBTUSANGULO

 Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos será mayor de 90º (es decir, obtuso) y los otros dos serán menores de 90º (es decir, agudos).El triángulo obtusángulo simplemente es aquel que tiene 2 ángulos agudos y un obtuso (>90º).Una característica que lo identifica como triangulo rectángulo es que tiene un ángulo obtuso(es decir, mayor de 90º)

clasificasion de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas y una secante

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

Al trazar dos líneas pueden ocurrir dos situaciones: la primera, que se crucen en un punto; la segunda, que por mas que se prolonguen no lleguen a unirse.

Dos rectas que se cortan en un punto se llaman secantes

Dos rectas situadas en el mismo plano que no se cortan son paralelas.

Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se representan por letras minúsculas; estos se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante.

1. ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: son los ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas. Son ángulos  que quedan dentro de las paralelas y en del mismo lado de la recta; formando dos parejas y estos angulos cumplen la conndicón de que suman 180º.

2. ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas. Son los á´ngulos que  quedan del mismo lado de la recta pero fuera de las paralelas, tambien son dos parejas y cumplen la misma condición que los internos, su suma es 180º

3. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:Se les llama así a dos ángulos que, en dos rectas cortadas por una transversal, están del mismo lado de la transversal pero uno es interno y el otro externo a las dos rectas.

Las dos rectas son paralelas si y sólo si los ángulos correspondientes son congruentes (iguales).  Son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante, formando parejas, un interno con un externo. Son los angulos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal..

4. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: son los ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

 Se les llama así a los ángulos que, en una transversal que corta a dos paralelas (o a dos rectas), son internos a las rectas pero alternos en la transversal. Son los angulos que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

5. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: son los ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante. Son los angulos que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

En dos rectas cortadas por una transversal, son dos ángulos externos a las rectas pero alternos en la transversal.

6. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro.Son aquellos angulos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. Los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par de rectas que se cortan en el vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.

Se dice de los pares de ángulos formados en la intersección de dos rectas, que comparten el vértice pero están en lados opuestos de éste (los lados de uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro).