EL NUMERO PI(π)

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
π ≈ 3,14159265358979323846... 

EL RADIÁN

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, , que sustiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

las propiedades de los angulos central, inscrito,interior, exterior y semi-inscrito

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.		La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.		El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.
Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.		La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.
Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.		La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

                                             ANGULO SEMI-INSCRITO

 

 

 

Ángulo Semi-Inscrito: Es todo ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de los lados es cuerda y el otro es tangente a la circunferencia. Su medida es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

convertir grados a radianes y radianes a grados

Para pasar grados a radianes, multiplica por (¶/180)
Ej: 60º a radianes → 60 * /(¶/180) = ¶/3

-Para pasar radianes a grados,multiplica por (180/¶)
Ej: ¶/4 a grados →( ¶/4 ) * (180/¶) = 45º

sistema sexagesinal y circular

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

                                       1 h 60 min 60 s

                                       1º   60'        60''

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2^o paso

Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3^er paso

Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2^o paso

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3^er paso

Hacemos lo mismo con los minutos.

Multiplicación por un número

1^er paso

Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.

2^o paso

Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3^er paso ·

Se hace lo mismo para los minutos.

División por un número

Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1^er paso

Se dividen las horas (o grados) entre el número.

2^o paso

El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3^er paso ·

Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4^o paso

Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

Medida compleja

Es aquella que expresa distintas clases de unidades:

3 h 5 min 7s

25° 32' 17''.

Medida incompleja o simple

Se expresa únicamente con una clase de unidades.

3.2 h

5.12º.

Paso de medidas complejas a incomplejas

Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final.

Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s.

Paso de medidas incomplejas a complejas

Tenemos dos casos:

1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.

7520''

2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.

En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián".

 Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’

        Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal.

        Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue.

1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el lado horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.

los poligonos

Polígono

Polígonos.

En geometría, un polígono es una figura plana que está limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.

Elementos de un polígono

Hexágono regular.

En un polígono podemos distinguir:

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
• Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de todos sus lados (mitad del perímetro).
• Ángulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central.
• Este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono.
• Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se calcula dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

• Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales, , donde es el número de lados del polígono.

Clasificación

Polígono Simple Convexo Regular Irregular Cóncavo Complejo

 Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina

• Simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
• Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;
• Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus angulos menores que 180º
• Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios angulos mayores que 180º
• Regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales, es el que es ala vez equilatero y equiangulo
• Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
• Equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
• Equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.
Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

 Criterios de congruencia de triángulos

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Criterios de congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.

 La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
• Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
• Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
• Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
• Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

TEOREMA DE PITAGORAS

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

TEOREMA DE PITÁGORAS

	En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Angulos adyacentes y congruencia de triangulos

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.

angulos adyacentes

ASER DOS TRIANGULOS Y PONER SUS CARACTERISTICAS

 TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1.       Triángulo rectángulo, con un ángulo interior recto de 90º, los lados que lo conforman se llaman catetos, y el lado contrario a estos se le llama hipotenusa.

2.       Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo.

3.       Catetos: son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo. Una característica que lo identifica como un triangulo rectángulo es que tiene un Angulo recto (es decir, exentamente 90º)

 TRIÁNGULO OBTUSANGULO

 Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos será mayor de 90º (es decir, obtuso) y los otros dos serán menores de 90º (es decir, agudos).El triángulo obtusángulo simplemente es aquel que tiene 2 ángulos agudos y un obtuso (>90º).Una característica que lo identifica como triangulo rectángulo es que tiene un ángulo obtuso(es decir, mayor de 90º)

clasificasion de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas y una secante

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

Al trazar dos líneas pueden ocurrir dos situaciones: la primera, que se crucen en un punto; la segunda, que por mas que se prolonguen no lleguen a unirse.

Dos rectas que se cortan en un punto se llaman secantes

Dos rectas situadas en el mismo plano que no se cortan son paralelas.

Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se representan por letras minúsculas; estos se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante.

1. ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: son los ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas. Son ángulos  que quedan dentro de las paralelas y en del mismo lado de la recta; formando dos parejas y estos angulos cumplen la conndicón de que suman 180º.

2. ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas. Son los á´ngulos que  quedan del mismo lado de la recta pero fuera de las paralelas, tambien son dos parejas y cumplen la misma condición que los internos, su suma es 180º

3. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:Se les llama así a dos ángulos que, en dos rectas cortadas por una transversal, están del mismo lado de la transversal pero uno es interno y el otro externo a las dos rectas.

Las dos rectas son paralelas si y sólo si los ángulos correspondientes son congruentes (iguales).  Son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante, formando parejas, un interno con un externo. Son los angulos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal..

4. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: son los ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

 Se les llama así a los ángulos que, en una transversal que corta a dos paralelas (o a dos rectas), son internos a las rectas pero alternos en la transversal. Son los angulos que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

5. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: son los ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante. Son los angulos que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

En dos rectas cortadas por una transversal, son dos ángulos externos a las rectas pero alternos en la transversal.

6. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro.Son aquellos angulos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. Los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par de rectas que se cortan en el vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.

Se dice de los pares de ángulos formados en la intersección de dos rectas, que comparten el vértice pero están en lados opuestos de éste (los lados de uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro).

TIPOS DE ANGULOS Y SUS CARACTERISTICAS

TIPOS DE ANGULOS QUE SE FORMAN EN DOS RECTAS PARALELA CORTADA POR UNA SECANTE.

1. Ángulos colaterales internos.
2. Ángulos colaterales externos.
3. Ángulos correspondientes.
4. Ángulos alternos internos.
5. Ángulos alternos externos.
6. Ángulos opuestos por el vértice.

MENCIONAR LAS CARACTERISTICAS DE CADA UNO DE LOS ANGULOS ANTERIORES

 
ÁNGULOS COLATERALES: son suplementarios, esto es, suman 180°, los cuales se dividen en dos tipos:
Ángulos colaterales internos: son los ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas. Son ángulos  que quedan dentro de las paralelas y en del mismo lado de la recta; formando dos parejas y estos ángulos cumplen la condición de que suman 180º.
Ángulos colaterales externos: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas. Son los ángulos que  quedan del mismo lado de la recta pero fuera de las paralelas, también son dos parejas y cumplen la misma condición que los internos, su suma es 180º
Ángulos correspondientes: son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante, formando parejas, un interno con un externo. Son los ángulos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
LOS ÁNGULOS ALTERNOS: tienen igual medida, es decir, son congruentes, los cuales se dividen en dos tipos:
Ángulos alternos internos: son los ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante. Son los ángulos que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: son los ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante. Son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro. Son aquellos ángulos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. Los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par de rectas que se cortan en el vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.

EJERSICIO DONDE SE EXPLIQUE LA PROPIEDAD 1 Y 2 DE LOS TRIANGULOS